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¿Que es la eliminación por Gauss-Jordan?

El método de Gauss-Jordán utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n número de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicara a toda la fila o a toda la columna en su caso.


Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.




¿PARA QUE SIRVE?



Este método sirve para resolver sistemas de ecuaciones expresados en matrices. Lo que hace es operar con las filas y columnas de modo que quede un triángulo de ceros en la matriz para que luego lo puedas resolver.




ANTECEDENTES



En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

OPERACIONES VALIDAS DE RENGLÓN


a) multiplicar y dividir un renglón por un numero diferente de cero 
b) intercambiar renglones
c) Sumar o restar el múltiplo de un renglón

PROCEDIMIENTO

Se escoge un sistema de ecuaciones a resolver

-3x+3y+2z=1 

 4x+y-z=2 

 x-2y+z=3 

Se acomodan los coeficientes y los resultados en una matriz: 

En el ejemplo, el -3 de la primera matriz se tiene que convertir en un 1, según la matriz identidad, así que hay que dividir entre -3, pero como una operación se aplica a toda la fila, entonces toda la primera fila se tiene que dividir entre –3:  

Después, como se ve en la matriz identidad, hay que hacer 0 toda la columna debajo del 1, y se hace multiplicando por algo la fila de arriba y sumándola a la fila de abajo. En este caso, se multiplica por -4 la fila de arriba y se suma con la correspondiente posición de la fila de abajo:

Para hacer cero el siguiente renglón simplemente hay que multiplicar por –1 al primer renglón sumarlo al tercero:

El siguiente paso para lograr una matriz identidad es obtener el siguiente 1, que en este caso iría en donde esta el 5 en la segunda fila. Para lograrlo hay que dividir toda la segunda fila entre 5:  

Después se tienen que hacer 0 los que están arriba y abajo del 1, que en este caso sería, para el que esta arriba R2+R3:

Ahora hay que hacer cero la posición A12. En este caso con hacer R2+R1 es suficiente: 

Dividir entre 2 R3 nos permite encontrar el otro 1, el de la posición A33: 

Ahora necesitamos ceros en las posiciones A13 y A23. Dividir entre ⅓ R3 y sumarlo a R1 nos permitirá encontrar uno de ellos:  

El último cero lo logramos multiplicando por -⅓R3 y sumándolo a R2:

Al encontrar la matriz identidad se encuentra la solución del sistema de ecuaciones, pues esto se traduce a:

x = 1

y = 0 

z = 2